Materi Olimpiade SMP : Bab 2 Teori Bilangan [Basic] : Keterbagian dan Faktor

Materi Sebelumnya :  Materi Olimpiade SMP : Bab 1 Teori Bilangan [Basic] : Bilangan (Part 2)

Sebelum melangkah lebih jauh, saya akan mendefinisikan ketebagian, bilangan prima dan bilangan komposit terlebih dahulu

Suatu bilangan bulat $a$ disebut membagi $b$ (bisa dituliskan sebagai $a|b$ jika ada bilangan bulat lain $c$ sehingga $b = ac$

Suatu bilangan bulat $p > 1$ dikatakan bilangan prima jika pembaginya hanyalah $\pm 1$ dan $\pm p$ itu sendiri

Bilangan bulat $m$ disebut komposit jika dan hanya jika bilangan tersebut mempunyai pembagi yang berbeda dengan $\pm 1$ dan $\pm p$

$a$ membagi $b$ dengan $a, b > 0$ bermakna sama dengan $a$ adalah faktor dari $b$. Pada himpunan bilangan bulat juga berlaku bahwa :

1. Sifat refleksif

Untuk setiap bilangan bulat $a$, berlaku $a|a$

2. Sifat transitif

Untuk setiap bilangan bulat $a, b, c$ berlaku : jika $a!b$ dan $b|c$ maka $a|c$

3. Sifat linear

Untuk setiap bilangan bulat $a, b, c, x$ dan $y$ berlaku : jika $a|b$ dan $a|c$ maka $a|bx + cy$

4. Sifat perkalian

Untuk setiap bilangan bulat $a, b,$ dan $c$ berlaku : jika $a|b$ maka $ca|cb$

5. Sifat pencoretan

Untuk setiap bilangan bulat $a, b,$ dan $c$ belaku : jika $ca|cb$ dan $c \ne 0$, maka $a|b$

6. Sifat bilangan $1$

Untuk setiap bilangan bulat $a$, berlaku $1|a$

7. Sifat bilangan $0$

Untuk setiap bilangan bulat $a$, berlaku $a|0$

8. Jika $a|b$ dan $b|a$, maka $a = \pm b$. Bilangan $a$ dan $b$ disebut berasosiasi

Selain itu ada beberapa sifat keterbagian suatu bilangan yang cukup menarik

• Bilangan habis dibagi $2$ jika dan hanya jika satuannya genap
• Bilangan habis dibagi $3$ jika dan hanya jika jumlah digit - digitnya habis dibagi $3$
• Bilangan habis dibagi $4$ jika dan hanya jika $2$ digit terakhirnya habis dibagi $4$
• Bilangan habis dibagi $5$ jika dan hanya jika satuannya adalah $0$ atau $5$
• Bilangan habis dibagi $8$ jika dan hanya jika $3$ digit terakhirnya habis dibagi $8$
• Bilangan habis dibagi $9$ jika dan hanya jika jumlah digit - digitnya habis dibagi $9$
• Bilangan habis dibagi $11$ jika dan hanya jika selisih dari jumlah digit - digit pada posisi genap dengan jumlah digit - digit dari posisi ganjil habis dibagi $11$

Contoh : $143$ habis dibagi $11$ karena $(1 + 3) - 4 = 0$ habis dibagi $11$.

Banyaknya faktor suatu bilangan

Misalkan faktorisasi dari bilangan $n$ adalah $p_1^{k_1} p_2^{k^2} \ldots p_i^{k_i}$ dengan $p_1, p_2, \ldots, p_i$ kesemuanya berbeda, maka banyaknya faktor dari $n$ adalah $(k_1 + 1)(k_2 + 1) \ldots (k_i + 1)$ 

Berikut contoh soal dan solusi yang berkaitan dengan materi ini

Soal 1

Tentukan banyaknya pembagi (faktor) dari bilangan 

(a) $7056$

(b) $31752$

Solusi

(a) Perhatikan bahwa $7056 = 2^4 \times 3^2 \times 7^2$. Akibatnya, banyaknya faktor dari $7056$ adalah $(4 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 45$ 

(b) Perhatikan bahwa $31752 = 2^3 \times 3^4 \times 7^2$. Akibatnya, banyaknya faktor dari $7056$ adalah $(3 + 1)(4 + 1)(2 + 1) = 60$

Soal 2

Tentukan nilai $x, y, z$ dari pembagian bersusun berikut   $$\frac{82}{15} = x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}}$$ Solusi
Perhatikan bahwa $$\frac{82}{15} = 5 + \frac{7}{15} = 5 + \frac{1}{\frac{15}{7}} = 5 + \frac{1}{2 + \frac{1}{7}}$$ Jadi deperoleh $x = 5, y = 2,$ dan $z = 7$


Soal 3
Hitunglah nilai dari $$6 + \frac{1}{6 + \frac{1}{6 + \frac{1}{6 + \frac{1}{6 + \frac{1}{\ldots}}}}}$$ Solusi
Asumsikan nilai dari bentuk diatas adalah $x$, maka

$x = 6 + \frac{1}{x} \implies x^2 - 6x - 1 = 0 \implies x = 3 + \sqrt{10}$


Soal 4
Tentukan banyaknya bilangan bulat positif yang terdiri dari lima angka (digit) dan angkanya hanya $5$ dan $6$ saja, serta bilangan itu habis dibagi $9$

Solusi
Perhatikan bahwa jumlah - jumlah kelima digit bilangan itu berada pada $5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25$ sampai $6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30$. Karena bilangan itu habis dibagi $9$, maka jumlah digit - digitnya harus habis dibagi $9$. Satu - satunya kemungkinan jumlah digitnya hanyalah $27$ yang terdiri atas $3$ digit angka $5$ dan $2$ digit angka $6$.

Total ada $10$ bilangan yang memenuhi yaitu $66555, 65655, 65565, 65556, 56655, 56565, 56556, 55665, 55656, 55566$.

Soal 5
Bilangan $7k52$ habis dibagi $12$. Tentukan nilai $k$

Solusi
Perhatikan bahwa bilangan habis dibagi $12$ jika dan hanya jika bilangan itu habis dibagi $4$ dan $3$

• $7k52$ habis dibagi $4$ artinya $52$ habis dibagi $4$ dan benar
• $7k52$ habis dibagi $11$ artinya $7 + k + 5 + 2 = 14 + k$ habis dibagi $3$. $k$ yang memenuhi adalah $1, 4, 7$

Jadi $k$ yang memenuhi agar $7k42$ habis dibagi $12$ adalah $1, 4$ atau $7$


Soal 6
Tentukan semua bilangan bulat positif $n$ sehingga $n^2 + 3$ habis membagi $n^4 - 3n^2 + 10$

Solusi
Perhatikan bahwa $n^4 - 3n^2 + 10 = (n^2 + 3)(n^2 - 6) + 28$. Akibatnya,

$(n^2 + 3)|(n^2 + 3)(n^2 - 6) + 28 \implies (n^2 + 3)|28$

Jelas bahwa $1 \le n \le 5$. Untuk itu, akan di cek kasus - kasus untuk $n = 1$ hingga $n = 5$

• $n = 1$ maka $n^2 + 3 = 4$. Jelas bahwa $4|28$ yang artinya $n = 1$ memenuhi
• $n = 2$ maka $n^2 + 3 = 7$. Jelas bahwa $7|28$ yang artinya $n = 2$ memenuhi
• $n = 3$ maka $n^2 + 3 = 12$. Akan tetapi $12$ tidak membagi $28$, yang artinya $n = 3$ tidak memeuhi
• $n = 4$ maka $n^2 + 3 = 19$. Akan tetapi $19$ tidak membagi $28$, yang artinya $n = 4$ tidak memeuhi
• $n = 5$ maka $n^2 + 3 = 28$. Jelas bahwa $28|28$ yang artinya $n = 5$ memenuhi

Jadi $n = 1, 2, 5$


Soal 7
Tentukan semua biangan bulat $n$ sehingga $\frac{3n + 15}{2n + 4}$ merupakan bilangan bulat

Solusi
Perhatikan bahwa jika $\frac{3n + 15}{2n + 4}$ maka $\frac{2(3n + 15)}{2n + 4} = 3 + \frac{18}{2n + 4}$ juga bilangan bulat. Oleh karena itu, $\frac{18}{2n + 4}$ haruslah bilangan bulat. Perhatikan bahwa agar bentuk tersebut bulat, $2n + 4$ haruslah membagi $18$ dengan $2n + 4$ habis dibagi $2$. Jadi

$2n + 4 = -18, -6, -2, 2, 6, 18 \implies 2n = -22, -10, -6, -2, 2, 14 \implies$
$n = -11, -5, -3, -1, 1, 7$


Soal 8
Misalkan $x$ dan $y$ dua bilangan bulat. Buktikan bahwa $2x + 3y$ habis dibagi $17$ jika dan hanya jika $9x + 5y$ habis dibagi $17$

Solusi
Perhatikan bahwa $-5(2x + 3y) + 3(9x + 5y) = 17x$

Karena ruas kanan habis dibagi $17$, maka benar bahwa $17|(2x + 3y)$ jika dan hanya jika $17|(9x + 5y)$


Soal 9
Buktikan bahwa bilangan $5! + 2, 5! + 3, 5! + 4, 5! + 5$ merupakan bilangan komposit

Perhatikan bahwa $5!$ habis dibagi $2, 3, 4$ dan $5$. Akibatnya

$5! + 2 = 2 \left( \frac{5!}{2} + 1 \right)$ habis dibagi $2$
$5! + 3 = 3 \left( \frac{5!}{3} + 1 \right)$ habis dibagi $3$
$5! + 4 = 4 \left( \frac{5!}{4} + 1 \right)$ habis dibagi $4$
$5! + 5 = 5 \left( \frac{5!}{5} + 1 \right)$ habis dibagi $5$

Jadi benar bahwa $5! + 2, 5! + 3, 5! + 4, 5! + 5$ merupakan bilangan komposit



Berikut latihan soal supaya pembaca lebih mahir dalam menyelesaikan soal - soal yang berkaitan dengan pembagian dan faktor.

Latihan 1
Tentukan nilai $x, y, z$ sehingga $$\frac{37}{13} = 2 + \frac{1}{x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}}}$$
Latihan 2
Selesaikan pembagian bersusun berikut $$\sqrt{13} + 3 = 2x + \frac{2}{x + \frac{1}{x + \frac{1}{x + \frac{1}{\ldots}}}}$$
Latihan 3
$2^{28}$ dapat dibagi oleh dua bilangan diantara $120$ dan $130$. Tentukan jumlah kedua bilangan itu

Latihan 4
Bilangan $\overline{x539984y}$ habis dibagi $99$. Tentukan nilai dari $x^2 + y^2$

Latihan 5
$A$ dan $B$ adalah suatu angka. Jika hasil kali dua bilangan bulat $2A5$ dan $13B$ habis dibagi $36$, maka tentukan semua pasangan $(A, B)$ yang mungkin

Latihan 6
$x$ dan $y$ masing - masing angka ganjil dan genap sehingga bilangan $x579y$ habis dibagi $12$. Tentukan bilangan $x579y$ terkecil

Latihan 7
Tentukan semua bilangan bulat $n$ sehingga :
(a) $\frac{2n + 8}{n + 2}$
(b) $\frac{5n + 20}{3n + 62}$
(c) $\frac{4n + 10}{3n - 9}$
(d) $\frac{5n + 9}{4n + 8}$

merupakan bilangan bulat

Latihan 8
Tentukan pasangan $(a, b)$ sehingga :
(a) $\overline{a3231b5}$ habis dibagi $33$ dengan syarat $a + b \ge 7$
(b) $\overline{a1989b}$ habis dibagi $72$
(c) $\overline{15a64b}$ habis dibagi $45$
(d) $\overline{12a6b1}$ habis dibagi $88$

Latihan 9
Berapa banyak bilangan asli $n$ yang kurang atau sama dengan $24$, sehingga $n!$ habis dibagi oleh $1 + 2 + 3 + \ldots + n$ ?

Latihan 10
Tentukan bilangan yang memenuhi sifat berikut ini

• Berada diantara $8500$ dan $8700$
• Jumlah seluruh digitnya $21$
• Bilangan tersebut habis dibagi $4$
• Kesemua digit bilangan tersebut berbeda

Latihan 11

Tentukan banyak bilangan genap $3$ digit yang habis dibagi $9$ dengan digit pertamanya $2$ satuan lebih besar dari digit keduanya. 

Latihan 12
Tentukan banyaknya bilangan bulat $n$ sedemikian sehingga $\frac{2n^2 - 10n - 4}{n^2 - 4n + 3}$

Latihan 13
Jika $(a - c) | (ab + cd)$ maka $(a - c)|(ad + bc)$

Latihan 14
Carilah $2015$ bilangan komposit yang berurutan