Materi Olimpiade SMP : Bab 1 Teori Bilangan [Basic] : Bilangan (Part 2)

Sebelumnya, saya sudah membahas topik ini pada link berikut. Nah, disini saya hanya akan memberikan contoh soal beserta solusi dan latihan - latihan sehingga pembaca dapat dengan mudah memahami materi tentang bilangan


Soal 1
Pecahan satuan adalah pecahan yang berbentuk $\frac{1}{a}$, dengan $a$ adalah bilangan bulat positif. Nyatakan $\frac{5}{11}$ sebagai jumlah tiga pecahan satuan yang berbeda dengan penyebut adalah bilangan ganjil

Solusi
Perhatikan bahwa

$\frac{5}{11} = \frac{15}{33} = \frac{1 + 3 + 11}{33} = \frac{1}{33} + \frac{1}{11} + \frac{1}{3}$

Soal 2
Angka $1, 3, 4, 6, 8, 9$ digunakan tepat sekali untuk membentuk tiga bilangan prima dua digit $p, q, r$ dengan $p > q > r$. Tentukan nilai $p - q + r$

Solusi
Perhatikan bahwa angka satuan dari bilangan prima yang berbentuk $2$ digit haruslah ganjil. Karena, jika genap maka bilangan tersebut habis dibagi $2$, kontradiksi dengan keprimaan bilangan itu. Oleh karena itu, bilangan prima yang dibentuk adalah $\overline{a1}, \overline{b3}, \overline{c9}$

Perhatikan bahwa $49$ dan $69$ bukanlah bilangan prima. Jadi haruslah $c = 8$. Disisi lain, $63$ juga bukanlah bilangan prima, kita peroleh $b = 4$. Oleh karena itu, haruslah $a = 6$. Jadi dapat disimpulkan $p = 89$, $q = 61$, dan $r = 43$. Sehingga, $p - q + r = 89 - 61 + 43 = 71$


Soal 3
Diketahui $m$ dan $n$ adalah bilangan bulat positif sedimikian sehingga $mn + m + n = 91$. Tentukan lah nilai dari $m + n$ yang mungkin

Solusi
Perhatikan bahwa

$mn + m + n = 91 \implies mn + m + n + 1 = 92 \implies (m + 1)(n+1) = 92$

Karena $m$ dan $n$ adalah bilangan bulat positif, haruslah $m + 1 \ge 2$ dan $n + 1 \ge 2$
Akibatnya, kemungkinan dari nilai $m + n$ adalah :

• $m + 1 = 2$ dan $n + 1 = 46$ diperoleh $m + n = 46$
• $m + 1 = 4$ dan $n + 1 = 23$ diperoleh $m + n = 25$
• $m + 1 = 23$ dan $n + 1 = 4$ diperoleh $m + n = 25$
• $m + 1 = 46$ dan $n + 1 = 2$ diperoleh $m + n = 46$

Jadi, nilai dari $m + n$ yang mungkin adalah $25$ dan $46$


Soal 4
Tentukan banyaknya bilangan prima $p$ sehingga $p + 1$ adalah bilangan kuadrat

Solusi
Berdasarkan soal, kita tahu bahwa ada bilangan bulat $n$ sehingga $p + 1 = n^2$. Hal ini mengakibatkan $p = n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$. Karena $p$ adalah bilangan prima, maka faktor positif dari $p$ hanyalah $1$ dan $p$ itu sendiri. Akan tetapi, $(n - 1)(n + 1)$ adalah bilangan prima, haruslah salah satu diantara mereka merupakan $1$

• Jika $n + 1 = 1$ maka $n = 0$. Diperoleh $p = n^2 - 1 = -1$, bukan bilangan prima
• Jika $n - 1 = 1$ maka $n = 2$. Diperoleh $p = n^2 - 1 = 2^2 - 1 = 3$

Jadi banyaknya bilangan prima yang memenuhi soal adalah $1$ yaitu saat $p = 3$.


Soal 5
Jumlah lima bilangan berurutan adalah $75$. Tentukan jumlah bilangan terbesar dan terkecil

Solusi
Asumsikan kelima bilangan tersebut adalah $a - 2, a - 1, a, a+ 1, a+2$. Penjumlahan kelima bilangan adalah

$75 = (a - 2) + (a - 1) + a + (a + 1) + (a + 2) = 5a \implies a = 15$

Jadi penjumlahan bilangan terbesar dan terkecilnya adalah $(a + 2) + (a - 2) = 2a = 30$


Soal 6
Tentukan banyaknya bilangan $2$ digit sehingga selisih bilangan itu dengan bilangan yang digit - digitnya berkebalikan dari bilangan semula adalah bilangan kuadrat sempurna

Solusi
Asumsikan bilangan yang dimaksud adalah $\overline{ab}$, maka bilangan yang berkebalikan dengannya adalah $\overline{ba}$. Tanpa mengurangi sifat perumuman asumsikan $\overline{ab} \ge \overline{ba}.$Akibatnya

$n^2 = (10a + b)- (10b + a) = 9(a - b)$

Haruslah $a - b$ merupakan bilangan kuadrat

• Jika $a - b = 1$ maka pasangan $(a, b)$ yang memenuhi adalah ${(1, 0), (2, 1), (3,2). (4,3), (5,4), (6,5), (7, 6), (8, 7), (9, 8)}$
• Jika $a - b = 4$ maka pasangan $(a, b)$ yang memenuhi adalah ${(4, 0), (5, 1), (6, 2), (7, 3), (8, 4), (9, 5)}$
• Jika $a - b = 9$ maka pasangan $(a, b)$ yang memenuhi adalah ${(9, 0)}$

Jadi bilangan yang memenuhi adalah $10, 12, 15, 21, 23, 26, 32, 34, 37, 40, 43, 45, 48, 51, 54, 56, 59, 62, 65, 67, 73, 76, 78, 84, 87, 89, 90, 95, 98$. Jadi, ada $29$ bilangan


Soal 7
Dua buah bilangan prima $P$ dan $Q$ mempunya sifat sebagai berikut : jmlah dan selisih antara kedua bilangan tersebut merupakan bilangan prima juga. Berapakah $P$ dan $Q$ ?

Solusi
Perhatikan bahwa $P$ dan $Q$ keduanya bukanlah bilangan ganjil. Karena, jika keduanya bilangan ganjil, jumlah mereka adalah bilangan genap. Kontradiksi dengan sifat pada soal. Jadi haruslah salah satu dari $P$ dan $Q$ adalah $2$. Tanpa mengurangi sifat keumuman, asumsikan $P = 2$. Akan dibagi menjadi $2$ kasus :

• $Q = 5$ maka $P - Q = 3$ dan $P + Q = 7$ yang keduanya merupakan bilangan prima. Jadi, $Q = 5$ memenuhi sifat pada soal
• $Q > 5$ maka ada $2$ kemungkinan nilai $Q$. Jika $Q = 6k + 1$, maka $P + Q = 2 + (6k + 1) = 3(2k + 1)$ yang merupakan bilangan kelipatan $3$. Jika $Q = 6k + 5$ maka $Q - P = 6k + 3 = 3(2k + 1)$ yang merupakan bilangan kelipatan $3$. Jadi $Q$ tidak mungkin lebih besar dari $5$

Jadi $P$ dan $Q$ yang memenuhi adalah $P = 2$ dan $Q = 5$


Soal 8
Tentukan nilai $a$ dan $b$ dari persamaan

$2^{\overline{6a}}3^{\overline{b8}} = 18. 2^{\overline{a5}}3^{\overline{ab}}$

Solusi
Perhatikan bahwa dari soal kita tahu bahwa

$2^{60 + a}3^{10b + 8} = 2^{10a + 6}3^{10a + b + 2}$

Dari soal, kita peroleh $2$ persamaan yaitu $60 + a = 10a + 6 \implies a = 6$. Dan, $10b + 8 = 62 + b \implies b = 6$. Jadi, nilai $a$ dan $b$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $a = b = 6$


Soal 9
Tentukanlah angka satuan dari hasil $1! + 2! + 3! + 4! + 5! + \ldots + 2015!$

Catatan : $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times n$

Solusi
Perhatikan bahwa digit satuan dari $n!$ untuk $n \ge 5$ adalah $0$ karena saat $n \ge 5$, maka $5$ membagi $n!$ dan $2$ juga membagi $n!$. Akibatnya, $n!$ merupakan kelipatan $10$.

Akibatnya, kita cukup fokus pada penjumlahan $1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33$, dimana digit satuan dari penjumlahan tersebut adalah $3$. Jadi, angka satuan dari penjumlahan pada soal adalah $3$


Berikut soal - soal yang dapat dijadikan latihan


Latihan 1
Jika $\frac{2^3 3^3 5^5 7^7}{(20. 30. 40. 50)^2} = 2^a 3^b 5^c 7^d$ dengan $a, b, c, d$ adalah bilangan bulat. Tentukan nilai dari $a + b + c + d$


Latihan 2
Jumlah bilangan $2a + 2$ dan $2b + 2$ adalah $2004$. TEntukan nilai dari penjumlahan antara $\frac{a}{2} - 2$ dan $\frac{b}{2} - 2$


Latihan 3
Jika jumlah $2$ bilangan $5$- digit $\overline{AMC10}$ dan $\overline{AMC22}$ adalah $123422$. Berapakah $A + M + C$


Latihan 4
Angka $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9$ digunakan tepat sekali untuk membentuk empat bilangan prima dua digit. Tentukan jumah keempat bilangan prima tersebut


Latihan 5
Berapa banyak bilangan $3$ digit yang digit tengahnya merupakan adalah rata - rata dari $2$ digit yang lain ?


Latihan 6
Berpakah banyak bilangan positif kubik yang membagi  $3! \times 5! \times 7!$


Latihan 7
Jika $200 \times 201 \times 202 \times \ldots \times 210$ dapat ditulis dalam bentuk $2^n. m$ dimana $m$ merupakan bilangan ganjil. Berapakah nilai dari $n$ ?