Materi Olimpiade SMP : Bab 1 Kombinatorika [Basic] : Statistika

Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang mengumpulkan, menyusun, mengolah, menganalisis, menyimpulkan, dan menyajikan data hasil penelitian. Topik yang sering diujikan pada kompetisi matematika biasanya menyangkut tentang rataan hitung. Rataan hitung meliputi rataan (mean), kuartil, modus, median, serta jangkauan (hamparan). Berikut penjelasan masing - masing istilah tersebut


Rataan (mean)
Terdapat beberapa kondisi dalam menentukan rataan hitung dari data - data yang diberikan

Kondisi 1
Nilai rataan hitung dari data $x_1, x_2, \ldots x_n$ dapat ditentukan sebagai $$\overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$$
Kondisi 2
Nilai dari rataan hitung data $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ masing - masing memiliki frekuensi kemunculan $f_1, f_2, f_3, \ldots f_n$ maka rataan hitungnya dapat ditentukan sebagai : $$\overline{x} = \frac{f_1x_1 + f_2x_2 + f_3x_3 + \ldots + f_nx_n}{f_1 + f_2 + f_3 + \ldots + f_n}$$
Kondisi 3
Jika $f_1, f_2, f_3, \ldots, f_n$ masing - masing memiliki rataan hitung $m_1, m_2, m_3, \ldots m_n$, maka rataan hitung total dari keseluruhan data adalah $$\frac{f_1m_1 + f_2m_2 + f_3m_3 + \ldots + f_nm_n}{f_1 + f_2 + f_3 + \ldots + f_n}$$

Modus
Modus adalah data yang sering muncul atau data yang memiliki frekuensi terbesar

Median dan Quartil
Median adalah nilai tengah dari data yang sudah diurutkan. Selain itu, data bisa dibagi menjadi empat bagian dengan pemisahnya adalah $Q_1, Q_2, Q_3$. Jika $x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}, \ldots, x_{(n)}$ merupakan data - data yang sudah diurutkan, maka :

$Q_1 = x_{\left( \frac{n+1}{4} \right)}$
$Q_2 \text{ (median)  } = x_{\left( \frac{n+1}{2} \right)}$
$Q_3 = x_{\left( \frac{3(n+1)}{4} \right)}$

Jangkauan (range)
Dirumuskan sebagai $x_{\text{maks}} - x_{\text{min}}$

Jangkauan Quartil
Dirumuskan sebagai $Q_3 - Q_1$



Untuk mempermudah pemahaman, berikut soal - soal yang berkaitan dengan Statistika

Soal 1
Rata - rata nilai matematika dari $24$ siswa adalah $7,20$. Setelah ditambah nilai dari $2$ siswa, rata - ratanya menjadi $7,25$. Jika nilai salah satu dari kedua siswa itu adalah $7,65$, tentukan nilai satu siswa yang lain

Solusi
Asumsikan nilai dari siswa yang lain itu adalah $x$. Akibatnya, dengan menggunakan definisi rataan hitung pada kondisi 3, diperoleh bahwa
$$7,25 = \frac{24 \times 7,20 + 7,65 + x }{26} \implies$$ $$188,5 = 172,8 + 7,65 + x \implies$$ $$x = 188,5 - 172,8 - 7,65 = 8,05$$

Soal 2
Suatu barisan berbentuk $a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b, 3a + 5b, \ldots$. Jika jumlah suku ke - $5$ dan ke - $7$ dari barisan tersebut adalah $8$, tentukan nilai rata - rata dari $8$ suku pertama barisan itu.

Solusi
Perhatikan bahwa barisan diatas mirip dengan barisan fibonacci dengan suku awalnya adalah $a$ dan $b$. Bisa dicari bahwa $8$ suku pertama barisan itu adalah
$$a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b, 3a + 5b, 5a + 8b, 8a + 13b$$
Di sisi lain, dari soal kita ketahui bahwa $8 = U_5 + U_7 = (2a + 3b) + (5a + 8b) = 7a + 11b$. Oleh karena itu, rata - rata dari $8$ suku pertama barisan itu adalah
$$\frac{a + b + (a + b) + (a + 2b) + (2a + 3b) + (3a + 5b) +  (5a + 8b) +  (8a + 13b)}{8}$$ $$= \frac{21a + 33b}{8} = \frac{3}{8} (7a + 11b) = \frac{3 \times 8}{8} = 3$$

Soal 3
Bilangan $8, 7, 6, x - 1, 9, y + 1, 8$ mempunyai rata - rata $8$. Tentukan nilai rataan $x$ dan $y$

Solusi
Dengan menggunakan definisi rata - rata kondisi $1$, diperoleh bahwa
$$8 = \frac{8 + 7 + 6 + (x - 1) + 9 + (y + 1) + 8}{7}  \implies$$ $$56 = 38 + x + y \implies$$ $$x + y = 18$$
Akibatnya, rataan hitung dari $x$ dan $y$ adalah
$$\frac{x + y}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

Soal 4
Riki telah mengikuti ulangan matematika sebanyak $10$ kali dan mendapatkan rata - rata $5$ dengan ketentuan nilai tertinggi $10$ dan terendah $0$. Berapa kali Riki harus mengikuti ulangan tambahan agar ia menaikkan nilai rata - ratanya menjadi $8$ ?

Solusi
Asumsikan $N$ adalah banyaknya ulangan tambahan yang harus diikuti oleh Riki. Agar $N$ seminimal mungkin, haruslah di setiap ulangan Riki mendapatkan nilai $10$. Akibatnya,
$$8 = \frac{10 \times 5 + N \times 10}{N + 10} \implies$$ $$80 + 8N = 50 + 10N \implies$$ $$2N = 30 \implies$$ $$N = 15$$

Soal 5
Nilai rataan tes matematika dari kelompok siswa dan siswi di suatu kelas berturut - turut adalah $5$ dan $7$. Bila nilai rata - rata dikelas itu adalah $6,2$. Tentukan perbandingan banyaknya siswa dan siswi di kelas itu.

Solusi
Asumsikan $A$ menyatakan banyaknya siswa di kelas itu dan $B$ menyatakan banyaknya siswi di kelas itu. Akibatnya,
$$6,2 = \frac{A \times 5 + B \times 7}{A + B} \implies$$ $$6,2 A + 6,2B = 5A + 7B \implies$$ $$1,2A = 0,8 B \implies$$ $$\frac{A}{B} = \frac{0,8}{1,2} = \frac{2}{3}$$

Soal 6
Nilai ujian kemampuan bahasa dari peserta seleksi pegawai di suatu instansi diperlihatkan pada tabel berikut :

Seorang peserta seleksi dinyatakan lulus jika nilai ujiannya lebih tinggi atau sama dengan nilai rata - rata ujian itu. Tentukan banyak peserta yang tidak lulus

Solusi

Perhatikan bahwa rata - rata nilai ujian berdasarkan tabel yang diberikan adalah 

$$\frac{11 \times 5 + 21 \times 6 + 49 \times 7 + 23 \times 8 + 16 \times 9}{11 + 21 + 49 + 23 + 16} = \frac{852}{120} = 7,1$$

Akibatnya, perserta yang tidak lulus ujian adalah mereka yang memiliki nilai dibawah $7,1$. Yaitu ada sebanyak $49 + 21 + 11 = 81$ orang

Soal 7

Rataan tinggi dari $20$ siswa adalah $155$ cm. Setelah diteliti ternyata terjadi kesalahan mencatat, seharusnya $198$ cm tetapi tercatat $189$ cm. Hitunglah rataan tinggi yang terkoreksi

Solusi

Perhatikan bahwa total tinggi $20$ siswa sebelum dikoreksi adalah $20 \times 155 = 3100 cm$. Setelah dikoreksi, total tinggi siswa adalah $3100 + (198 - 189) = 3109$. Jadi, rata - rata tinggi $20$ siswa setelah dikoreksi adalah $\frac{3109}{20} = 155,45$ cm.

Soal 8 

Tentukan rataan dari kuadrat $n$ bilangan asli pertama

Solusi

Kita tahu bahwa 

$$1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \frac{n \times (n + 1) \times (2n + 1)}{6}$$

Akibatnya rata - rata dari kuadrat $n$ bilangan asli pertama adalah
$$\frac{\frac{n \times (n + 1) \times (2n + 1)}{6}}{n} = \frac{(n + 1) \times (2n + 1)}{6}$$

Soal 9

Sebuah kelas mempunyai rata - rata $5,2$ dan median $6$. Karena data yang diperoleh tidak memuaskan, maka seluruh data diubah dengan cara mengalikan setiap data dengan $\frac{5}{4}$. Tentukan nilai rata - rata dan median pada data terbaru

Solusi

Asumsikan data awal adalah $x_1, x_2, \ldots, x_n$, maka setelah dimanipulasi, rata - rata data tersebut adalah 

$$\frac{\frac{5x_1}{4} + \frac{5x_2}{4} + \ldots + \frac{5x_n}{4}}{n} = \frac{5}{4} \left( \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} \right) = \frac{5}{4} \times 5,2 = 6,5$$

Untuk median, median setelah dimanipulasi adalah

$$\frac{5}{4} \times x_{\frac{n+1}{2}} = \frac{5}{4} \times \text{Median} = \frac{5}{4} \times 6 = 7,5$$

Soal 10

Berat Andi ditambah berat Budi adalah $65$ kg, berat Andi ditambah berat Cakra adalah $63$ kg, dan berat Budi ditambah berat Cakra adalah $94$ kg. Hitunglah berat rata - rata ketiga orang tersebut

Solusi

Asumsikan $A, B, C$ masing - masing menyatakan berat Andi, Budi, dan Cakra. Dari soal diperoleh bahwa

$$A + B = 65$$ $$A + C = 63$$ $$B + C = 94$$

Jumlahkan ketiga persamaan sehingga diperoleh rata - rata berat badan ketiga orang tersebut adalah

$$2A + 2B + 2C = 65 + 63 + 94 = 222 \implies$$ $$\frac{A+B+C}{3} = \frac{222}{6} = 37$$

Soal 11

Bila rataan hitung suku kedua dan suku ke enam suatu deret geometri adalah  $51$ dan suku ketiganya adalah $12$, maka $3072$ adalah suku ke \ldots

Solusi

Perhatikan bahwa $U_3 = ar^2 = 12$. Akibatnya

$$51 = \frac{U_2 + U_6}{2} = \frac{ar + ar^5}{2} = \frac{12}{2r} + \frac{12r^3}{2}$$ $$51 = \frac{6}{r} + 6r^3$$  

Selesaikan persamaan diatas sehingga diperoleh $r = 2$. Akibatnya, $12 = ar^2 = 4a$ dan diperoleh $a = 3$. Jadi, 

$$3072 = ar^{n-1} = 3. 2^{n-1} \implies$$

$$1024 = 2^{n-1} \implies$$

$$n = 11$$

Jadi, $3072$ adalah suku ke - $11$

Soal 12

Seratus siswa suatu provinsi di Pulau Jawa mengikuti seleksi tingkat provinsi dan skor rata - ratanya adalah $60$. Banyak siswa kelas II yang mengikuti seleksi tersebut lebih banyak $50%$ dari siswa kelas III dan skor rata - rata siswa kelas III $50%$ lebih tinggi dibandingkan skor rata - rata kelas $II$. Tentukan skor rata - rata kelas $3$

Solusi

Asumsikan banyak siswa kelas $III$ yang mengikuti seleksi adalah $x$ siswa. Maka, siswa kelas $II$ yang mengikuti seleksi adalah $\frac{3x}{2}$. Karena total siswa yang mengikuti seleksi adalah $100$ orang, maka

$$x + \frac{3x}{2} = 100 \implies$$ $$x = \frac{2}{5} \times 100 = 40$$

Asumsikan nilai rata - rata siswa kelas $II$ adalah $y$, maka dari soal kita peroleh nilai rata - rata siswa kelas $III$ adalah $\frac{3y}{2}$. Oleh karena itu,

$$60 = \frac{60 \times y + 40 \times \frac{3y}{2}}{100} \implies$$ $$6000 = 120 y  \implies$$ $$y = 50$$

Maka, skor rata - rata dari kelas $III$ adalah $\frac{3y}{2} = \frac{3}{2} \times 50 = 75$. 

Sebagai latihan bagi pembaca, berikut soal - soal statistika

Latihan 1

Seorang pedagang membeli $25$ kg beras jenis $A$ seharga Rp. $6000$/kg dan $15$ kg beras jenis $B$ seharga Rp. $4000$/kg. Kedua jenis beras itu kemudian dicampur. Tentukan berapa harga beras per kg yang dijual oleh pedagang jika ia mendapatkan untung $4 %$.

Latihan 2

Rataan berat badan $34$ siswa adalah $46,5$ kg. Bila berat badan seorang diikutsertakan, rataan berat naik $500$ gram atau menjadi $47$ kg. Tentukan berat badan guru tersebut.

Latihan 3

Rata - rata nilai siswa wanita di suatu kelas adalah $73$ dan siswa laki - laki adalah $71$. Rataan nilai kelas keseluruhan adalah $71,8$. Tentukan perbandingan banyak siswa wanita dan laki - laki di kelas tersebut

Latihan 4

Tentukan rataan dari $10$ bilangan ganjil pertama

Latihan 5
Rata - rata berat badan dari $200$ ekor ikan adalah $50$ kg. Pada saat diperiksa ternyata terdapat kesalahan penulisan yaitu $92$ dan $8$ seharusnya adalah $192$ dan $88$. Tentukan rataan yang benar setelah dikoreksi

Latihan 6
Rataan dari $20$ bilangan adalah $25$. Jika  $8$ diantara $20$ bilangan itu mempunyai rataan $10$, tentukan rataan dari $12$ bilangan lainnya

Latihan 7
Jumlah siswa kelas $8$A adalah $32$ dengan nilai rata - rata $7,50$ untuk matematika dan $6,24$ untuk pelajaran bahasa. Sementara kelas $8$B mempunyai rata - rata matematika $7,16$. Jika nilai rata - rata gabungan kelas $8$A dan $8$B untuk mata pelajaran matematika dan dan bahasa masing - masing $7,32$ dan $6,60$. Tentukan nilai rata - rata bahasa untuk kelas $8$B.

Latihan 8
Sukma telah mengumpulkan $4$ nilai tugas untuk pelajaran fisika, berturut - turut : $7, 8, 6, 8$ dan $1$ nilai lagi yang belum dikembalikan gurunya. Jika gurunya berkata bahwa nilai rata - rata Sukma untuk kelima tugasnya sama dengan mediannya, bantulah Sukma untuk menebak nilai tugas yang ke-$5$

Latihan 9
Sekelompok bilangan bulat positif memuat bilangan $68$ dan memiliki rata - rata $56$. Jika $68$ disisihkan maka rata - ratanya menjadi $55$. Berapa bilangan terbesar yang mungkin terdapat pada kelompok itu ?

Latihan 10
Data nilai ujian sebagai berikut

Jika data diatas memiliki rata - rata $6,5$, tentukan median data tersebut.

Latihan 11
Rata - rata dari $21$ bilangan asli berurutan adalah $135$. Berapakah rata - rata $5$ bilangan pertama

Latihan 12
Jika Ali memperoleh $94$ pada ujian yang akan datang, maka nilai rata - ratanya menjadi $89$. Tetapi, jika ia memperoleh nilai $79$ maka nilai rata - ratanya menjadi $86$. Berapa banyak ujian yang telah Ali ikuti ?

Latihan 13
Jika diketahui rata - rata dari $15$ bilangan asli berbeda adalah $10$. Tentukan bilangan asli terbesar yang mungkin.

Latihan 14
Suatu kelompok terdiri diri atas $4$ anak. Berat rata - rata anak pertama dan kedua adalah $55$. Berat rata - rata anak kedua dan ketiga adalah $70$. Berat rata - rata anak ketiga dan keempat adalah $75$. Berapakah berat rata - rata anak pertama dan keempat ?

Latihan 15
Diketahu nilai ujian sebagai berikut :

Jika banyak siswa yang lulus hanya $35%$, tentukan nilai terendah dari mereka yang lulus.

Latihan 16
Suatu keluarga mempunyai lima orang anak. Umur anak tertua sama dengan dua kali umur anak termuda. Ada satu anak yang umurnya $2$ tahun lebih tua dari yang termuda, ada satu anak yang umurnya empat tahun lebih tua dari yang termuda, dan satu lagi dua tahun lebih muda dari yang tertua. Jika umur rata - rata kelima anak tersebut adalah $19$ tahun. Tentukan umur anak tertua.

Latihan 17
What are two missing digit in the following table ?

Latihan 18
Dua kelompok anak masing - masing terdiri dari $4$ anak mempunyai rata - rata berat badan $30$ dan $33$ kg. Kalau seorang anak dari masing - masing kelompok dipertukarkan, maka ternyata rata = rata berat badan menjadi sama. Tentukan selisih berat badan kedua anak yang ditukar tersebut

Latihan 19
Diketahui $\overline{x}$ adalah rata - rata dari $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_{2015}$. Bila data diubah menjadi $\frac{x_1}{2} - 2, \frac{x_2}{2} + 4, \frac{x_3}{2} - 6$ dan seterusnya, maka tentukan nilai rata - rata yang sudah di ubah.

Latihan 20
Suatu barisan berbentuk $a + 2b, a + 3b, 2a + 5b, 3a + 8b, 5a + 13b, \ldots$. Jika suku kelima dari barisan itu adalah $136$, tentukan rata - rata dari $10$ suku pertama barisan itu.