Materi Olimpiade SMP : Bab 1 Teori Bilangan [Basic] : Bilangan (Part 1)

Sebelum melangkah lebih jauh, seringkali banyak orang yang tidak mengerti perbedaan antara bilangan dan angka (biasanya disebut digit). Berikut saya jelaskan perbedaan keduanya

Angka (Digit)
Angka adalah suatu tanda atau lambang yang digunakan untuk melambangkan bilangan. Dalam sistem bilangan Hindu - Arab yang biasanya kita kenal, angka didefinisikan sebagai $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$

Bilangan
Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun - tahun telah diperluas. Bilangan terluas yang biasanya dikenali adalah bilangan kompleks. Berikut bagan pengelompokan suatu bilangan

Pengelompokan Bilangan yang Biasa Kita Kenal

Biasanya, dalam teori bilangan, kelompok bilangan tertinggi yang kita bahas adalah bilangan rasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan, artinya bilangan tersebut dapat dinyatakan sebagai $\frac{a}{b}$ dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat serta $b \ne 0$. 

Melangkah ke topik yang akan dibahas, seringkali diantara kita sering tertukar antara jumlah dan banyak digit suatu bilangan. Tentu, jumlah dan banyak digit ini hanya bisa dicari dalam konteks bilangan desimal yang banyak terbatas. Jumlah digit menyatakan penjumlahan semua digit yang ada pada suatu bilangan. Banyaknya digit menyatakan banyak digit dari suatu bilangan, artinya bilangan puluhan memiliki $2$ digit, bilangan ribuan memiliki $4$ digit, dst.

Untuk mempermudah penjelasan, misalkan saya memiliki bilangan 134. Jumlah digit dari bilangan ini adalah $1 + 3 + 4 = 8$ dan banyak digit dari bilangan itu adalah $3$. Contoh lain, bilangan $1376543200$ memiliki jumlah digit $1 + 3 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 31$ dan banyak digitnya adalah $10$.

Sering kali, dalam olimpiade kita menemukan soal - soal yang berkaitan dengan jumlah dan banyak digit. Untuk itu, saya akan memberikan contoh soal dan solusi yang berkaitan dengan topik yang sedang dibahas.

Soal 1
Tentukan jumlah angka (digit) dari
(a) $10^{50} - 50$
(b) $10^{76} - 76$

Solusi
(a) Perhatikan bahwa apabila kita mengubah bentuk $10^{50} - 50$ ke dalam bentuk desimal akan diperoleh $999 \ldots 9950$. Karena banyaknya digit dari bilangan ini adalah $50$, maka tentu banyaknya angka $9$ dalam bentuk ini ada sebanyak $48$. Jadi jumlah digit dari $10^{50} - 50$ adalah $9 \times 48 + 5 + 0 = 437$

(b) Perhatikan bahwa apabila kita mengubah bentuk $10^{76} - 76$ ke dalam bentuk desimal akan diperoleh $999 \ldots 9924$. Karena banyaknya digit dari bilangan ini adalah $76$, maka tentu banyaknya angka $9$ dalam bentuk ini ada sebanyak $74$. Jadi jumlah digit dari $10^{76} - 76$ adalah $9 \times 74 + 2 + 4 = 672$


Soal 2
Tentukan banyaknya digit dari
(a) $4^{16} \times 5^{25}$
(b) $2^{12} \times 5^8$

Solusi
(a) Perhatikan bahwa $4^{16} \times 5^{25} = 2^{32} \times 5^{25} = 2^7 \times 10^25 = 128 \times 10^25 = 12800 \ldots 000$ dengan banyaknya angka $0$ pada bagian ujung adalah 25. Jadi, banyaknya digit pada bilangan ini adalah $25 + 3 = 28$

(b) Analog (lakukan dengan cara yang sama) dengan bagian (a) diperoleh bahwa bilangan diatas jika diubah kebentuk desimal adalah $1600000000$. Jadi, banyaknya digit bilangan ini adalah $10$


Soal 3

        Tentukan banyaknya bilangan asli yang lebih kecil dari $1000$ dan mempunyai

a. digit terakhir $9$                                 
b. digit pertamanya $9$

Solusi
a. Perhatikan bahwa bilangan yang mungkin adalah berbentuk ratusan, puluhan, dan satuan. Jika kita mengacu pada gambar berikut

Perhatikan bahwa bagian ratusan (kotak 1) dapat diisi dengan semua angka yaitu $0, 1, 2, \ldots 9$ yaitu ada $10$ kemungkinan. Disisi lain, bagian puluhan (kotak 2) juga dapat diisi dengan semua angka yaitu $0, 1, 2, \ldots 9$ yaitu ada $10$ kemungkinan. Jadi, banyaknya bilangan ini (dengan menggunakan aturan perkalian) adalah $10 \times 10 = 100$

b. Perhatikan bahwa bilangan yang mungkin berbentuk ratusan, puluhan, dan satuan. Jika kita mengacu pada gambar berikut

Kemungkinan pertama adalah ratusan, banyaknya bilangan yang mungkin seperti halnya bagian (a) adalah $100$. Untuk puluhan, ada $10$ kemungkinan untuk menempati $1$ kotak kosong. Untuk satuan, jelas terdapat $1$ bilangan yang memenuhi yaitu $9$. Jika kita total ketiga kemungkinan tadi, diperoleh banyaknya bilangan yang memenuhi kondisi soal adalah $100 + 10 + 1 = 111$

Soal 4

Jumlah angka dari suatu bilangan yang terdiri dari dua angka adalah $14$. Bila angka - angkanya dibalik, bilangan baru adalah $\frac{34}{43}$ kali bilangan semula. Tentukan bilangan itu

Solusi

Misalkan bilangan awal adalah $\bar{ab} = 10a + b$, maka bilangan setelah dibalik adalah $\bar{ba} = 10 a + b$. Dari soal, kita peroleh bahwa 

$10b + a = \frac{34}{43} (10a + b) \implies 430b + 43 a = 340a + 34b \implies 396b = 297a \implies 4b = 3a$

Berdasarkan soal, kita tahu bahwa $a + b = 14$. Lakukan substitusi dan eliminasi dengan persamaan $4b = 3a$ untuk memperoleh $a = 8$ dan $b = 6$.

Soal 5

Tentukan dua buah bilangan berurutan yang selisih pangkat tiganya adalah 271

Solusi

Misalkan kedua bilangan yang dimaksud adalah $a$ dan $a + 1$. Akibatnya, 

$(a+1)^3 - a^3 = 3a^2 + 3a + 1 = 271 \implies a^2 + a - 90 = 0 \implies a = 9 \text{ atau } a = -10$

Jadi kedua bilangan berurutan tersebut adalah ${9, 10}$ atau ${-9, -10}$

Soal 6

Tentukan dua buah bilangan berurutan sehingga jumlah kuadrat kedua bilangan itu adalah $60$ kurang dari kuadrat dari jumlah kedua bilangan itu

Solusi

Asumsikan kedua bilangan yang dimaksud adalah $a$ dan $a + 1$. Akibatnya,

$a^2 + (a + 1)^2 = (a + (a+1))^2 - 60 \implies 2a^2 + 2a - 60 = 0 \implies a = 5 \text{ atau } a = -6$

Jadi kedua bilangan berurutan tersebut adalah ${5, 6}$ atau ${-5, -6}$

Soal 7

Suatu bilangan terdiri dari $4$ angka, dengan angka ribuan $7$ dan angka satuan $2$. Jika letak kedua angka tersebut dipertukarkan, maka bilangan semula $301$ lebih besar dari $3$ bilangan yang baru itu. Tentukan bilangan itu 

Solusi

Asumsikan bilangan yang dimaksud adalah $\overline{7ab2} = 7002 + 100a + 10b$ dan bilangan yang baru adalah $\overline{2ab7} = 2007 + 100a + 10b$. Maka, berdasarkan soal diperoleh bahwa

$7002 + 100a + 10b = 301 + 3(2007 + 100a + 10b) \implies 680 = 200a + 20b \implies 10a + b = 34$

Jadi, bilangan yang dimaksud adalah $7342$

Soal 8

Nyatakan bilangan $28$ dan $48$ sebagai selisih kuadrat dari $2$ bilangan 

Solusi

Perhatikan bahwa $28 = 2 \times 14 = (8 + 6)(8 - 6) = 8^2 - 6^2$. Lakukan hal yang sama untuk $48$ sehingga diperoleh $48 = 2 \times 24 = (13 +11)(13 - 11) = 13^2 - 11^2$

Soal 9

Tentukan semua bilangan yang terdiri dari dua digit dan bilangan itu 12 lebih besar daripada hasil kali digit - digitnya

Solusi

Asumsikan bilangan yang dimaksud adalah $\overline{ab} = 10a + b$, maka berdasarkan soal diperoleh

$10a + b = 12 + ab \implies (a - 1)(b - 10) = -2$

Berdasarkan persamaan terakhir, kita peroleh bahwa kemungkinan $a$ dan $b$ yang memenuhi adalah : 

• $a - 1 = 1$ dan $b - 10 = -2$ diperoleh $a = 2$ dan $b = 8$

• $a - 1 = 2$ dan $b - 10 = -1$ diperoleh $a = 3$ dan $b = 9$

• $a - 1 = -1$ dan $b - 10 = 2$ diperoleh $a = 0$ dan $b = 12$ (Tidak Mungkin)

• $a - 1 = -2$ dan $b - 10 = 1$ diperoleh $a = -1$ dan $b = 11$ (Tidak Mungkin)

Tampak bahwa bilanga $2$ digit yang memenuhi adalah $28$ dan $39$. 

Sebagai latihan, berikut saya berikan beberapa contoh soal

Latihan 1

Jika selisih dari $2$ bilangan adalah $2$ dan selisih kuadratnya adalah $6$. Tentukan jumlah kedua bilangan itu

Latihan 2

Tentukan bilangan bulat terbesar yang menggunakan empat angka $1$, tiga angka $2$, dua angka $3$, dan satu angka $4$ dengan dua angka sama tidak boleh terletak bersebelahan

Latihan 3

Jumlah $11$ bilangan bulat positif  berurutan adalah $k^3$ dengan $k$ bilangan prima positif. Tentukan nilai terkecil yang mungkin dari bilangan bulat tersebut

Latihan 4

Diketahui bilangan asli $a, b, c$ dengan $a \ge b \ge c$. Tentukan bilangan $a, b, c$ yang memenuhi $ab + bc = 44$ dan $ac + bc = 23$.

Latihan 5

Tentukan banyaknya tripel $(x, y, z)$ dengan $x, y, z$ bilangan bulat positif yang memenuhi $xyz = 4000$.

Latihan 6

Himpunan $S$ memuat $5$ bilangan bulat positif yang berbeda. Jumlah setiap $4$ bilangan adalah $169, 153, 182, 193$, dan $127$. Tentukan bilangan yang terbesar.

Latihan 7

Jumlah dua bilangan bulat sama dengan $12$. Tentukan kedua bilangan itu agar hasil kalinya terbesar.

Latihan 8

Diketahui $6$ bilangan bulat positif $A, B, C, D, E, F$ sehingga $A + B = 29$, $C + D = 45$, $E + F = 65$, $AC = 36$ dan $BE = 312$. Tentukan nilai semua bilangan bulat tersebut.