Materi Olimpiade SMP : Bab 7 Teori Bilangan [Intermediate] : Basis dan Penyajian Bilangan

Penyajian bilangan yang biasanya kita kenali adalah sistem bilangan desimal, sebagai contoh
\[ \overline{a_na_{n-1}a_{n-2} \ldots a_1a_0} = a_n \times 10^n + a_{n-1} \times 10^{n-1} + \ldots + a_1 \times 10 + a_0 \]
Secara umum, dalam matematika dikenal penyajian bilangan yang lain yang biasa kita sebut basis. Misalkan $m$ adalah bilangan asli, maka
\[  (a_na_{n-1}a_{n-2} \ldots a_1a_0)_m = a_n \times m^n + a_{n-1} \times m^{n-1} + \ldots + a_1 \times 10 + a_0 \]
dengan $0 \le a_i < m$ untuk semua $i = \{0, 1, 2, \ldots, n\}$




Berikut contoh - contoh soal beserta solusi yang berkaitan dengan basis :

Soal 1
Tentukan bilangan - bilangan berikut dalam basis $7$ :
a. $158$
b. $36$
c. $2015$
d. $10427$

Solusi
a. Perhatikan bahwa
\[ 158 = 22 \times 7 + 4 = (3 \times 7 + 1) \times 7 + 1 \] \[= 3 \times 7^2 + 1 \times 7 + 1 \]
Akibatnya, $158$ dalam basis $7$ dapat dituliskan sebagai $(311)_7$

b. Perhatikan bahwa
\[ 36 = 5 \times 7 + 1 \]
Akibatnya, $36$ dalam basis $7$ dapat dituliskan sebagai $(51)_7$

c. Perhatikan bahwa
\[ 2015 = 287 \times 7 + 6 = (41 \times 7 ) \times 7 + 6 = 41 \times 7^2 + 6 \] \[= (5 \times 7 + 6)\times7^2 + 6 = 5 \times 7^3 + 6 \times 7^2 + 6 = 5 \times 7^3 + 6 \times 7^2 + 0 \times 7 +  6 \]
Akibatnya, $2015$ dalam basis $7$ dapat dituliskan sebagai $(5606)_7$

d. Perhatikan bahwa
\[ 10427 = 1489 \times 7 + 4 = (212 \times 7 + 5 ) \times 7 + 4 = 212 \times 7^2 + 5 \times 7 + 4 \] \[= (30 \times 7 + 2)\times7^2 + 5 \times 7 + 4 = 30 \times 7^3 + 2 \times 7^2 + 5 \times7 + 4\] \[(4 \times 7 + 2) \times 7^3 + 2 \times 7^2 + 5 \times 7 +  4 = 4 \times 7^4 + 2 \times 7^3 + 2 \times 7^2 + 5 \times 7 + 4 \]
Akibatnya, $10427$ dalam basis $7$ dapat dituliskan sebagai $(42254)_7$


Soal 2
Tentukan bilangan - bilangan berikut dalam basis desimal :
a. $(1001010)_2$
b. $(23642)_7$
c. $(3A5F)_{16}$
d. $(2015)_9$

Solusi
a. Perhatikan bahwa
\[ (1001010)_2 = 1 \times 2^6 + 0 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2 + 0 \times 1\] \[= 64 + 8 + 2 = 74 \]
b. Perhatikan bahwa
\[ (23642)_7 = 2 \times 7^4 + 3 \times 7^3 + 6 \times 7^2 + 4 \times 7 + 2 \] \[= 4802 + 1029 + 294+28+2 = 6155\]
c. Dalam sistem hexsadesimal (basis $16$), huruf $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ masing - masing menyatakan bilangan $10$, $11$, $12$, $13$, $14$, $15$. Jadi,
\[ (3A5F)_{16} = 3 \times 16^3 + 10 \times 16^2 + 5 \times 16 + 15\] \[= 12288 + 2560 + 80 + 15 = 14943 \]
d. Perhatikan bahwa
\[ (2015)_9 = 2 \times 9^3 + 0 \times 9^2 + 1 \times 9 + 5 = 1458 + 0 + 9 + 5 = 1472 \]

Soal 3
Hitunglah hasil berikut dalam basis yang bersesuaian :
a. $(100)_2 + (11)_2$
b. $(543)_6 \times (321)_6$
c. $(412)_5 - (143)_5$
d. $(4044)_7 : (51)_7$

Solusi
a. $(100)_2 + (11)_2 = 4 + 3 = 7 = (111)_2$

b. $(543)_6 \times (321)_6 = 207 \times 121 = 25047 = (311543)_6$

c. $(412)_5 - (143)_5 = 107 - 48 = 59 = (214)_5$

d. $(4044)_7 : (51)_7 = 1404 : 36 = 39 = (54)_7$


Soal 4
Suatu bilangan terdiri atas 3 angka jika ditulis dalam basis $7$. Jika ditulis dalam basis $9$, maka bilangan tersebut terdiri atas angka yang sama seperti basis $7$ tapi dalam urutan yang terbalik. Tentukan bilangan itu

Solusi
Misalkan bilangan tersebut adalah $(abc)_7$. Sehingga diperoleh :
\[ (abc)_7 = (cba)_9 \] \[a \times 49 + b \times 7 + c = c \times 81 + b \times 9 + a \] \[48a - 80c = 2b \] \[8(3a - 5c) = b\]
Karena $a, b, c < 7$, maka disimpulkan $b = 0$ dan $3a = 5b$ yang berakibat $a = 5, b = 3$. Jadi bilangan yang mungkin adalah $(503)_7 = 248$


Soal 5
Carilah semua bilangan yang diawali dengan angka $6$ dan mengecil $25$ kali jika angka pertama dihapus

Solusi
Asumsikan bilangan tersebut adalah $6 \times 10^{n-1} + a$ dengan $a$ adalah bilangan yang terdiri atas $n - 1$ digit. Dari soal kita tahu bahwa
\[ 6 \times 10^{n-1} + a = 25a \] \[ 6 \times 10^{n-1} = 24a \] \[a = \frac{1}{4} \times 10^{n-1} \] \[a = 25 \times 10^{n-3} \]
Jadi bilangan yang dimaksud adalah bilangan yang berbentuk $\underbrace{625000 \ldots 000}_{\text{angka 0 sebanyak (n - 3)}}$



Sebagai latihan, berikut saya sediakan latihan bagi - para pembaca semua :

Latihan 1
Tentukan bilangan - bilangan berikut dalam basis $2$ :
a. $158$
b. $36$
c. $2015$
d. $10427$

Latihan 2
Tentukan bilangan - bilangan berikut dalam basis $8$ :
a. $158$
b. $36$
c. $2015$
d. $10427$

Latihan 3
Tentukan bilangan - bilangan berikut dalam basis $16$ :
a. $158$
b. $36$
c. $2015$
d. $10427$

Latihan 4
Suatu perkalian dalam basis $10$ dapat ditulis sebagai $999 \times \overline{abc} = \overline{def132}$. Tentukan nilai dari $a, b, c, d, e, f$

Latihan 5
Hitunglah hasil berikut dalam basis yang bersesuaian
a. $(213)_7 + (666)_7$
b. $(345)_7 \times (243)_7$
c. $(43524)_6 : (55)_6$
d. $(3030)_4 - (102)_4$

Latihan 6
Suatu bilangan terdiri atas 3 angka jika ditulis dalam basis $5$. Jika ditulis dalam basis $7$, maka bilangan tersebut terdiri atas angka yang sama seperti basis $5$ tapi dalam urutan yang terbalik. Tentukan bilangan itu

Latihan 7
Tentukan semua bilangan asli yang mempunyai sifat jika angka terakhir dihapus maka bilangan yang diperoleh merupakan pembagi bilangan yang semula

Latihan 8
Tentukan nilai $b$ yang memenuhi sehingga $(72)_b = 2 \times (27)_b$

Latihan 9
Tentukan nilai $b$ yang memenuhi sehingga $(73)_b = 2 \times (37)_b$

Latihan 10
Carilah bilangan asli terkecil yang dimulai dengan angka $1$ dan membesar $3$ kali jika angka pertamanya dipindah menjadi angka terakhir.

Latihan 11
Tentukan semua sifat bilangan asli yang mempunyai sifat jika digit kedua dihapus maka bilangan yang diperoleh merupakan pembagi bilangan yang semula