Processing math: 100%

Selasa, 22 Desember 2015

Materi Olimpiade SMP : Bab 7 Teori Bilangan [Intermediate] : Basis dan Penyajian Bilangan

Penyajian bilangan yang biasanya kita kenali adalah sistem bilangan desimal, sebagai contoh
\overline{a_na_{n-1}a_{n-2} \ldots a_1a_0} = a_n \times 10^n + a_{n-1} \times 10^{n-1} + \ldots + a_1 \times 10 + a_0 

Secara umum, dalam matematika dikenal penyajian bilangan yang lain yang biasa kita sebut basis. Misalkan m adalah bilangan asli, maka
 (a_na_{n-1}a_{n-2} \ldots a_1a_0)_m = a_n \times m^n + a_{n-1} \times m^{n-1} + \ldots + a_1 \times 10 + a_0 

dengan 0 \le a_i < m untuk semua i = \{0, 1, 2, \ldots, n\}




Berikut contoh - contoh soal beserta solusi yang berkaitan dengan basis :

Soal 1
Tentukan bilangan - bilangan berikut dalam basis 7 :
a. 158
b. 36
c. 2015
d. 10427

Solusi
a. Perhatikan bahwa
158 = 22 \times 7 + 4 = (3 \times 7 + 1) \times 7 + 1
= 3 \times 7^2 + 1 \times 7 + 1

Akibatnya, 158 dalam basis 7 dapat dituliskan sebagai (311)_7

b. Perhatikan bahwa
36 = 5 \times 7 + 1

Akibatnya, 36 dalam basis 7 dapat dituliskan sebagai (51)_7

c. Perhatikan bahwa
2015 = 287 \times 7 + 6 = (41 \times 7 ) \times 7 + 6 = 41 \times 7^2 + 6 
= (5 \times 7 + 6)\times7^2 + 6 = 5 \times 7^3 + 6 \times 7^2 + 6 = 5 \times 7^3 + 6 \times 7^2 + 0 \times 7 +  6 

Akibatnya, 2015 dalam basis 7 dapat dituliskan sebagai (5606)_7

d. Perhatikan bahwa
10427 = 1489 \times 7 + 4 = (212 \times 7 + 5 ) \times 7 + 4 = 212 \times 7^2 + 5 \times 7 + 4 
= (30 \times 7 + 2)\times7^2 + 5 \times 7 + 4 = 30 \times 7^3 + 2 \times 7^2 + 5 \times7 + 4
(4 \times 7 + 2) \times 7^3 + 2 \times 7^2 + 5 \times 7 +  4 = 4 \times 7^4 + 2 \times 7^3 + 2 \times 7^2 + 5 \times 7 + 4 

Akibatnya, 10427 dalam basis 7 dapat dituliskan sebagai (42254)_7


Soal 2
Tentukan bilangan - bilangan berikut dalam basis desimal :
a. (1001010)_2
b. (23642)_7
c. (3A5F)_{16}
d. (2015)_9

Solusi
a. Perhatikan bahwa
(1001010)_2 = 1 \times 2^6 + 0 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2 + 0 \times 1
= 64 + 8 + 2 = 74

b. Perhatikan bahwa
(23642)_7 = 2 \times 7^4 + 3 \times 7^3 + 6 \times 7^2 + 4 \times 7 + 2
= 4802 + 1029 + 294+28+2 = 6155

c. Dalam sistem hexsadesimal (basis 16), huruf A, B, C, D, E, F masing - masing menyatakan bilangan 10, 11, 12, 13, 14, 15. Jadi,
(3A5F)_{16} = 3 \times 16^3 + 10 \times 16^2 + 5 \times 16 + 15
= 12288 + 2560 + 80 + 15 = 14943 

d. Perhatikan bahwa
(2015)_9 = 2 \times 9^3 + 0 \times 9^2 + 1 \times 9 + 5 = 1458 + 0 + 9 + 5 = 1472 


Soal 3
Hitunglah hasil berikut dalam basis yang bersesuaian :
a. (100)_2 + (11)_2
b. (543)_6 \times (321)_6
c. (412)_5 - (143)_5
d. (4044)_7 : (51)_7

Solusi
a. (100)_2 + (11)_2 = 4 + 3 = 7 = (111)_2

b. (543)_6 \times (321)_6 = 207 \times 121 = 25047 = (311543)_6

c. (412)_5 - (143)_5 = 107 - 48 = 59 = (214)_5

d. (4044)_7 : (51)_7 = 1404 : 36 = 39 = (54)_7


Soal 4
Suatu bilangan terdiri atas 3 angka jika ditulis dalam basis 7. Jika ditulis dalam basis 9, maka bilangan tersebut terdiri atas angka yang sama seperti basis 7 tapi dalam urutan yang terbalik. Tentukan bilangan itu

Solusi
Misalkan bilangan tersebut adalah (abc)_7. Sehingga diperoleh :
(abc)_7 = (cba)_9
a \times 49 + b \times 7 + c = c \times 81 + b \times 9 + a
48a - 80c = 2b
8(3a - 5c) = b

Karena a, b, c < 7, maka disimpulkan b = 0 dan 3a = 5b yang berakibat a = 5, b = 3. Jadi bilangan yang mungkin adalah (503)_7 = 248


Soal 5
Carilah semua bilangan yang diawali dengan angka 6 dan mengecil 25 kali jika angka pertama dihapus

Solusi
Asumsikan bilangan tersebut adalah 6 \times 10^{n-1} + a dengan a adalah bilangan yang terdiri atas n - 1 digit. Dari soal kita tahu bahwa
6 \times 10^{n-1} + a = 25a
6 \times 10^{n-1} = 24a
a = \frac{1}{4} \times 10^{n-1}
a = 25 \times 10^{n-3}

Jadi bilangan yang dimaksud adalah bilangan yang berbentuk \underbrace{625000 \ldots 000}_{\text{angka 0 sebanyak (n - 3)}}



Sebagai latihan, berikut saya sediakan latihan bagi - para pembaca semua :

Latihan 1
Tentukan bilangan - bilangan berikut dalam basis 2 :
a. 158
b. 36
c. 2015
d. 10427

Latihan 2
Tentukan bilangan - bilangan berikut dalam basis 8 :
a. 158
b. 36
c. 2015
d. 10427

Latihan 3
Tentukan bilangan - bilangan berikut dalam basis 16 :
a. 158
b. 36
c. 2015
d. 10427

Latihan 4
Suatu perkalian dalam basis 10 dapat ditulis sebagai 999 \times \overline{abc} = \overline{def132}. Tentukan nilai dari a, b, c, d, e, f

Latihan 5
Hitunglah hasil berikut dalam basis yang bersesuaian
a. (213)_7 + (666)_7
b. (345)_7 \times (243)_7
c. (43524)_6 : (55)_6
d. (3030)_4 - (102)_4

Latihan 6
Suatu bilangan terdiri atas 3 angka jika ditulis dalam basis 5. Jika ditulis dalam basis 7, maka bilangan tersebut terdiri atas angka yang sama seperti basis 5 tapi dalam urutan yang terbalik. Tentukan bilangan itu

Latihan 7
Tentukan semua bilangan asli yang mempunyai sifat jika angka terakhir dihapus maka bilangan yang diperoleh merupakan pembagi bilangan yang semula

Latihan 8
Tentukan nilai b yang memenuhi sehingga (72)_b = 2 \times (27)_b

Latihan 9
Tentukan nilai b yang memenuhi sehingga (73)_b = 2 \times (37)_b

Latihan 10
Carilah bilangan asli terkecil yang dimulai dengan angka 1 dan membesar 3 kali jika angka pertamanya dipindah menjadi angka terakhir.

Latihan 11
Tentukan semua sifat bilangan asli yang mempunyai sifat jika digit kedua dihapus maka bilangan yang diperoleh merupakan pembagi bilangan yang semula

1 komentar:

  1. Sangat bermanfaat.... bagaimana caranya mendownload materinya??? mohon petunjuk

    BalasHapus